习题 5, § 1

如果$A$是拓扑空间$X$的任何子集，则$A$的边界由$\mathrm{Fr}(A)$表示。

a) 证明$\mathrm{Fr}(\overline{A}) \subset \mathrm{Fr}(A), \mathrm{Fr}(\mathring{A}) \subset \mathrm{Fr}(A)$，并在实直线*上给出例*，其中这三个集合是不同的。

b) 令$A, B$为$X$之二子集；表明

并给出例 在实直线 上，其中这些集合是不同的。如果$\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$，则证明$\mathrm{Fr}(A \cup B) = \mathrm{Fr}(A) \cup \mathrm{Fr}(B)$。

c) 如果$A$和$B$在$X$中开，证明

并给出例 在实直线 上，其中这三个集合是不同的。