习题 9, § 1

令 $X$ 为集合，并令 $M \to \overline{M}$ 为 $\mathfrak{P}(X)$ 的映射自身，使得： 1) $\varnothing = \overline{\varnothing}$； 2) 对于每个$M \subset X$，我们有$M \subset \overline{M}$； 3) 对于每个$M \subset X$，我们有$\overline{\overline{M}} = \overline{M}$； 4) 对于所有 $M \subset X$ 和 $N \subset X$ 我们有

证明 $X$ 上存在唯一的拓扑，使得 $\overline{M}$ 是 $M$ 相对于此拓扑的闭包，对于所有 $M \subset X$（定义拓扑通过其闭包集合）。