习题 12, § 10

a) 对应 $(G, X, Y)$ 是正确的，当且仅当对于每个拓扑空间 $Z$ 和每个对应 $(E, Z, X)$，其图 $E$ 在 $Z \times X$ 中闭合，图 $G \circ E$ 在 $Z \times Y$ 中闭合。首先证明条件是必要的，注即$G \circ E$是$(E \times Y) \cap (Z \times G)$在$i_Z \times pr_2 : Z \times G \to Z \times Y$下的像。为了证明充分性，令 $\delta_Y$ 为对角线映射 $Y \to Y \times Y$；表明，对于 $(Z \times Y) \times X$ 中的每个子集 $F$，映射下的 $G \circ F$ 逆像

是像，低于映射 $(y, z) \mapsto (z, y)$，共集合 其中$\overline{F}$是映射$(z, y, x) \mapsto (x, y, z)$下$F$的像。 b) 从a) 推出两个真对应中的合成是一个真对应。 c) 设$(G, X, Y)$为真对应。证明如果 $X$ 是 Hausdorff，则 $G$ 在 $X \times Y$ 中闭合。