习题 19, § 11

令 X 为局部紧致空间。可以证明，X可以与在§ 9，习题25（cf.章IX, § 1，习题8）构造的通用紧致空间$\tilde{X}$的密集开子空间进行识别。还假设 X 是连通的并且是局部连通的。

a) 证明，对于 X 的每个紧致子集 K，$X - K$ 中不相对紧致的分量的集合是有限的 [cf. 习题 14 b)]。推断 $\tilde{X} - X$ 属于的点至多为 $X - K$ 的一个分量的闭包 [如果 $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) 是 $X - K$ 的非紧分量，且点的 $C_i$ 紧集 $\tilde{X} - X$位于$A_i$的闭包中，构造是紧致的空间，其基础集合是X和集合$C_i$的和，这样X就可以用密集开来识别子空间这个空间]。

b) 令$R' \{ x, y \}$为$\tilde{X} - X$上的以下等价关系：“对于X的每个紧致子集 K，x和y位于$X - K$的相同非紧组件的闭包中”。令 R 为 $\tilde{X}$ 上的等价关系，其中等价类为 X 的单个点的类 mod $R'$ 和子集由……组成。证明 R 是 Hausdorff，且 X 可以等同于紧致空间 $X^b = \tilde{X}/R$ 的稠密开子空间；证明在紧凑的空间$X^b - X$中，每个点都是其邻域的交，它们都是开闭的。 $X^b - X$的点称为空间X的末端。

c) 令$Y$为紧致空间，使得$X$可以用$Y$的密集开子空间来识别，并且使得在紧致空间$Y - X$中，每个点都是其邻域的交，其中既可以是开放的，也可以是封闭的 (*)。证明在 $Y$ 中存在 $X^b$ 的连续映射，其中 $X$ 上有诱导恒等映射。 [如果$Y - X$是两个不相交的非空闭集合$A$和$B$中的并，则表明$V$中存在两个不相交的开子集$U, Y$使得$A \subset U, B \subset V$ 使得 $Y - (U \cup V)$ 是紧致的]。

d) 证明如果 $X$ 是 $\sigma$-紧的，那么 $X^b - X$ 有一个可数的基。

e) 实直线有两端，$\mathbf{R}^n$ ($n \geq 2$) 有一端。给出 $\mathbf{R}^2$ 的连通、局部连通、局部紧凑子空间的例，其中集合的端点具有幂的连续统。*