习题 22, § 11

a) 证明在极端断开的空间中，每个开路子空间和每个密集的子空间都是极端断开的。

b) 令$X$为Hausdorff空间，其中每个点都有邻域，这是$X$的极度不连通的子空间。证明 $X$ 极度断开。

c) 给出 Hausdorff 空间 $X$ 的例，它不是极端断开，但具有极端断开密集开子空间（将两个极端断开空间粘贴在一起）。

d) 令$X$为$X$（§ 9，习题26）上超滤器的可数离散空间，$\tilde{X}$（紧凑）空间。设$(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$是$X$的可数无穷划分到无穷子集；在$\tilde{X}$的闭子空间$Y = \tilde{X} - X$中，集合$B_n = \tilde{X}_n \cap Y$是开闭且成对的不相交的。令 $B = \bigcup_n B_n$；证明$Y$中$B$的闭包$\overline{B}$在$Y$中不开，因此$Y$不是极端断开的(*)。 （使用归谬法：利用习题 20，令$C$是$\tilde{X}$的开闭子集，使得$C \cap Y = \overline{B}$；考虑集合$C \cap A_n$中的每个点$x_n$，让$\overline{J}$为点$x_n$对集合$J$的闭包，并表明$\overline{J}$不满足$B$）。

(*) 习题 21 h) 和 22 d) 由 R. Ricabarra 负责。