习题 24, § 11

设$X$为拓扑空间。 a) 让集合$\mathfrak{P}_0(X)$携带拓扑$\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$（$§ 2$，习题7）或$\mathfrak{T}_\Theta$（$§ 8$，习题12）之一。证明如果 $\mathfrak{P}_0(X)$ 的子集 $\mathfrak{B}$ 是连通的，并且如果每个 $M \in \mathfrak{B}$ 都是连通的，那么 $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ 也是连通的。 b) 令$\mathfrak{S}$为$\mathfrak{P}_0(X)$的子集，其中包含集合为$X$的所有有限非空子集。证明如果 $X$ 是连通的，那么 $\mathfrak{S}$ 也是连通的 [使用 $§ 2$ 的习题 7 b) 和 $§ 4$ 的命题 8，考虑到映射 $(x_1, \ldots, x_n) \to \{ x_1, \ldots, x_n \}$]。