习题 8, § 2

令$X$为集合，$c$为基数数，其无限或等于1。$X$子集的集合，$X$的由……组成以及那些$M \subset X$使得$\operatorname{card}(M) < c$ 拓扑 $\mathfrak{T}_c$ $X$ 关闭子集集合； $\mathfrak{T}_1$是$X$上最粗糙的拓扑，$\mathfrak{T}_c$是$c > \operatorname{card}(X)$的离散拓扑。 $X$的每个置换都是通过给出$X$拓扑$\mathfrak{T}_c$获得的拓扑空间的自同构。

相反，证明$X$上的任何拓扑$\mathfrak{T}$，其具有性质且$X$的每个置换相对于$\mathfrak{T}$连续，必然是拓扑$\mathfrak{T}_c$之一。 [令$c$为最小的基数，使得$\operatorname{card}(F) < c$对于拓扑$\mathfrak{T}$中每个闭合的子集$F \neq X$；观察当$X$无限且$c > \mathrm{card}(X)$时，$\mathfrak{T}$必然是离散的拓扑。]