习题 4, § 3

令$Y, Z$为拓扑空间$X$的两个子空间，使得$X = Y \cup Z$和$\overline{A} \cap B = \overline{B} \cap A = \varnothing$，其中$A = Y \cap \complement Z$和$B = Z \cap \complement Y$。

a) 证明如果$M$是$X$中的任意子集，则$X$中$M$的闭包是$Y$中$M \cap Y$的闭包和$Z$中$M \cap Z$的闭包的并。推断如果 $M \cap Y$ 在 $Y$ 中闭合（或打开）并且 $M \cap Z$ 在 $Z$ 中闭合（或打开），则 $M$ 在 $X$ 中闭合（或打开）。

b) 设$f$为$X$的映射，形成拓扑空间$X'$。证明如果 $f|Y$ 和 $f|Z$ 连续，则 $f$ 也连续。