习题 17, § 6

令$X$为格子（集合理论，章III, § 1, no. 13）。 $X$的非空子集$F$，如果满足以下条件，则称为预过滤器： (i) 每当$x \in F$和$y \geq x$，则$y \in F$； (ii) 每当$x \in F$和$y \in F$时，则$\inf(x, y) \in F$； （三）$F \neq X$。因此，集合、子集、集合$Y$上的预过滤器按包含排序，恰好$Y$上的过滤器。如果关系 $\sup(x, y) \in F$ 暗示$x \in F$ 或 $y \in F$，则预过滤器$F$ 被称为“质数”。与$X$顺序相反的预过滤器称为$X$上的*coprefilter*。

a) 不只由$X$的至少元素构成的子集、$A$、$X$、上界、集合是前置过滤器。提供例预过滤器，其不是集合或上界。

b) 证明如果 $F$ 是素数预过滤器，则 $CF$ 是素数预过滤器。

c) 表明如果 $X$ 具有至少元素 $o$，则每个预过滤器都包含在最大预过滤器中（使用 Zorn 的引理，注意 $o$ 属于没有预过滤器）。

d) 找到线性排序集合 $X$ 上的所有预过滤器，并证明它们都是素数。因此，给出例的素数预过滤器，这不是最大的。

e) 令$X$为5元素的有序集合，用$o, 1, a, b, c$表示，序关系为$o < a < 1, o < b < 1, o < c < 1$。证明 $X$ 是一个格子，并且除 $\{1\}$ 之外的预过滤器是最大的，但不是素数。

f) 令 $X$ 为至少具有元素 $o$ 的格子。证明如果 $F \subset X$ 是预过滤器，且 $a$ 是 $X$ 的元素，且不将属于变为 $F$，则存在预过滤器包含 $F$ 和 $a$ 当且仅当 $\inf(a, x) \neq o$ 时全部$x \in F$； 最小的预过滤器包含$F$和$a$则为所有$y \in X$中的集合，使得$y \geq \inf(a, x)$对于$F$中的至少一个元素$x$。