习题 20, § 6

如果格子 $X$ 是可分配的，且至少有元素 $o$ 和最大元素 $i$，并且如果对于每个 $x \in X$，有元素 $x' \in X$，则称其为 布尔代数，使得$\inf (x, x') = o$和$\sup (x, x') = i$；这样的元素据说是$X$中$x$的*补集*。

a) 令 $x \to A_x$ 为布尔值代数 $X$ 的单射到$X$ 上素数预过滤器集合 $\Omega$ 的子集集合，在习题 18 d) 中定义。证明如果$x'$是$X$中$x$的补集，则$\Omega$中$A_{x'} = \mathbf{C}A_x$；推导出元素 $x$ 只有一个补码$x'$，$x'$的补码为$x$，$\inf (x, y)$的补码为$\sup (x', y')$；直接给出这些叙述中的证明。布尔值环$A$相应的到$X$的理想值，除了$A$之外，是$X$上的预过滤器。

b) 表明，在布尔代数 $X$ 中，每个素数预过滤器都是最大的（注，对于每个 $x \in X$，每个素数预过滤器必须包含 $x$ 或其补集）。

c) 相反，令 $X$ 为具有至少元素 $o$ 和最大元素 $i$ 的分配格，并且$X$ 上的每个素数预过滤器都最大。证明 $X$ 是布尔值代数。 （对于元素 $x \in X$，考虑那些 $y \in X$ 的辅预滤波器 $C$ (习题 17) 由……组成，使得 $\inf (x, y) = o$；如果 $x$ 没有补集，则存在最大辅预滤波器 $M$ 包含$x$和$C$；注$X$中$M$的补集$U$是素预滤波器[习题17b)和18b)]并使用习题17f))。

d) 证明如果 $X$ 是拓扑空间，则 $X$ 的子集的集合 $\mathfrak{B}$ 既开又闭，如果按包含排序，则为布尔值代数。如果我们将$X$作为与Fréchet滤波器（no. 5）相关的拓扑空间，则表明由此获得的布尔代数$\mathfrak{B}$是可数无限的，因此不能同构于所有的有序集合$\mathfrak{P}(A)$ 子集集合 $A$。