习题 6, § 6

如果对于集合$X$上的每个过滤器，我们在集合$X' = X \cup \{ \omega \}$上制作对应关联的拓扑（no. 5），那么我们有以下命题：

a) 如果 $X'$ 上的拓扑 $\mathfrak{T}$ 是 更细，而不是与$X$ 上的滤波器 $\mathfrak{F}$ 关联的拓扑，则 $\mathfrak{T}$ 是与滤波器更细关联的离散拓扑或拓扑大于$\mathfrak{F}$。 逆命题？

b) 与$X$上的滤波器集合和$\Phi$的滤波器相关联的拓扑的下确界是与属于到$\Phi$上的滤波器的交相关联的拓扑。

c) 令$\mathfrak{G}$为$X$子集集合，并令$\mathfrak{G}'$为形式$M \cup \{ \omega \}$$X'$子集集合，其中$M \in \mathfrak{G}$。让$\mathfrak{H}$表示$\mathfrak{G} \cup \mathfrak{P}(X)$。如果 $\mathfrak{G}$ 生成是过滤器 $\mathfrak{F}$，则表明 $\mathfrak{H}$ 是与 $\mathfrak{F}$ 伴随的 $X'$ 上拓扑的子基。如果 $\mathfrak{G}$ 不是过滤底基，拓扑 $\mathfrak{H}$ 生成会做什么？

d) $\mathfrak{F}$ 是 $X$ 上的超滤器，当且仅当 $X'$ 上关联的拓扑为 $X$-最大（$\S$ 3，习题 11）。