习题 22, § 8

a) 使用习题 20 c) 的记号，证明拓扑$\mathfrak{T}$ 的集合 $E(\mathfrak{T}_0)$，使得$\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ 相对于关系是归纳的““$\mathfrak{T}$ 比$\mathfrak{T}'$ 更粗糙”。 如果$\mathfrak{T}_0$是$X$上的半正则拓扑，$E(\mathfrak{T}_0)$的极大元素称为次极大拓扑，集合$X$与拓扑的空间称为次极大空间。 因此，$E(\mathfrak{T}_0)$ 的每个拓扑都比某些次极大拓扑更粗糙。

b) $X$ 上的拓扑 $\mathfrak{T}$ 是次极大当且仅当$X$ 中稠密的拓扑 $\mathfrak{T}$ 中的每个子集在 $\mathfrak{T}$ 中开。因此，非空次极大空间是不可解的（§ 2，习题 2）。

c) 证明次极大空间的每个子空间都是局部闭的次极大（首先考虑开子空间和闭子空间）。

d) 表明与更细的过滤器相关联的空间比无限集合的有限子集的补集过滤器是次极大空间。

e) 如果 $M$ 是次极大空间 $X$ 的子集，则证明子空间 $\overline{M} - \dot{M} = Fr(M)$ 是离散的。

f) 相反，令 $X$ 为拓扑空间，其具有稠密开子集 $U$，使得 $U$ 为次极大，$X$ 的拓扑为 $U$ 极大（§ 3，习题 11）。那么 $X$ 是次极大值。