习题 6, § 8

a) 设 $X$ 为 Hausdorff 空间，$D$ 为 $X$ 的稠密子集。显示$\operatorname{card}(X) \leq 2^{2^{\operatorname{card}(D)}}$（观察$X$的每个点都是$D$上的过滤器基的极限）。证明$\operatorname{card}(X)$不能的上界得到改进（$§ 4$，习题5b））并推论超滤器的无限集合$A$集合和过滤器的集合均等价于$\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(A))$。

b) 令$K$为两个数$0$和$1$的离散空间由……组成。令 $A$ 为无限集合。由a)推导出，如果$\operatorname{card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{card}(N)}}$，则乘积空间$K^A$满足$§ 1$的习题7中的条件$(D_{IV})$，但既不满足$(D_{II})$也不满足$(D_{III})$。 （$§ 4$，习题4）。