习题 23, § 9

a) 令$X$为可数绝对闭空间。证明$X$的孤立的点的集合在$X$中是稠密的。 [使用归谬法，通过将$X$的点排列在序列中，并通过归纳构建$X$的可数开覆盖$(U_n)$，使得$\overline{U}_n$中没有有限的并覆盖$X$]。

*b) 给出一个完全 Hausdorff 绝对闭拓扑空间的例，它不是 Lindelöf 空间 [在乘积 $[0, 1] \times [0, 1]$ 中；考虑集合$A \times \{0\}$的补集，其中$A$穿过$[0, 1]$的所有子集的集合，并应用$§ 8$、习题20 c)]的一般方法。这个空间满足$§ 1$、习题1的条件$(D_{II})$，但不满足满足条件$(D_{III})$。

c) 令$X_0$为紧致空间，没有孤立的点，令$\mathfrak{M}$为$X_0$的可数子集的补集的集合[使得$\mathfrak{M}$的集合稠密于$X_0$， cf.a)]。设$\mathfrak{T}$为拓扑，由$X_0$的开集合和$\mathfrak{M}$的集合生成。证明通过给出 $X_0$ 拓扑 $\mathfrak{T}$ 得到的空间 $X$ 是绝对闭且完全 Hausdorff 的，并且是一个 Lindelöf 空间，它不是 $§ 1$ 的满足条件 $(D_{II})$， 习题7；还证明$X$中没有点具有邻域的可数基本系统，并且$X$中没有序列（其所有项都是不同的）具有集群点。如果 $X_0$ 的每个开子空间都是 Lindelöf [cf. 习题 16 c)]，则表明 $X$ 也是如此，因此特别是 $X$ 满足 $(D_{III})$ [习题 16 a)]。当$X_0 = [0, 1]$时就是这种情况。然而，证明在这种情况下，$X$有可数的闭子集，而$X$的开集合不可数交（cf.章IX、$§ 5$、no. 3）。 \*