习题 24, § 9

a) 令$X$为豪斯多夫空间，并令$\Gamma$为$X$上的滤波器的集合，该滤波器具有开集合的基由……组成并且在$X$中没有簇点。证明如果集合 $\Gamma$ 不为空（即，如果 $X$ 不是绝对闭），则它是归纳的。

b) 令$\Omega$为$\Gamma$中*最大*过滤器的集合，并令$X'$为集合，即$X$和$\Omega$的和。对于每个$x \in X$，让$\mathfrak{B}(x)$表示$X$中的$x$的邻域的集合，对于每个$\omega \in \Omega$，让$\mathfrak{B}(\omega)$表示$X'$的子集的集合形式$\{ \omega \} \cup M$，其中$M$属于到过滤器$\omega$。然后在$X'$上有拓扑，其中$\mathfrak{B}(x')$是每个$x' \in X'$的$x'$的邻域的基本系统。证明，有了这个拓扑，$X'$是绝对闭的，并且有以下泛性质：给定$X$的任何开连续映射$f : X \to Y$到绝对闭空间$Y$，有一个唯一的连续映射 $g : X' \to Y$，其中扩展$f$（考虑属于到$\Omega$的滤波器的$f$下的像，并观察在绝对封闭的空间中，在集合的滤波器中最大值的滤波器开集合的基由……组成必须收敛）。特别是，$X'$的拓扑是$X$最大（$§ 3$，习题11）。推断存在绝对闭的空间，其拓扑是拟极大值（$§ 2$，习题6）。