习题 6, § 2

令$X$为空间的均匀性，$\mathfrak{U}$其均匀性，$\tilde{\mathfrak{U}}$相应的在$\mathfrak{P}(X)$上的均匀性（$§ 1$，习题5）。 a) 证明映射$x \to \{x\}$是制服空间$X$的同构到制服空间$\mathfrak{P}(X)$的子空间。 b) 证明$\tilde{\mathfrak{U}}$在$X$的非空闭子集的集合$\mathfrak{F}(X)$上诱导的均匀性是Hausdorff，并且$\tilde{\mathfrak{U}}$在映射$M \to \overline{M}$诱导的均匀性下是逆像 $\tilde{\mathfrak{U}}$于$\mathfrak{F}(X)$。 c) 证明$\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$到$\mathfrak{P}(X)$的映射$(M, N) \to M \cup N$是一致连续的。 d) 令 $Y$ 为另一个均匀空间。如果$f : X \to Y$是均匀连续的映射，证明$\mathfrak{P}(X)$到$\mathfrak{P}(Y)$的映射$M \to f(M)$是均匀连续的。 e) 令$\mathfrak{B}$为$X$的非空闭子集的集合$\mathfrak{F}(X)$的紧子集，$\mathfrak{F}(X)$携带由拓扑$\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$诱导的拓扑 $\tilde{\mathfrak{U}}$。证明集合 $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ 在 $X$ 关闭。