习题 16, § 4

令$X$为连通紧致空间，令$A, B$为$X$的两个不相交的非空闭子集。证明$C(A \cup B)$有一个分量，其闭包同时满足$A$和$B$。 （令 $U$ 为 $X$ 均匀性的周边，使得 $\hat{U}(A) \cap \hat{U}(B) = \varnothing$。首先证明满足 $U(A)$ 和 $\overline{U(B)}$ 的 $C(U(A) \cup U(B))$ 分量中的集合 $\mathfrak{M}_U$ 不为空，通过证明对于每个对称周边$W \subset U$ 存在$x \in U(A)$和$y \in U(B)$以及一条$W$链，将$x$连接到$y$，并且除了$x$和$y$之外，所有点都连接到属于 $C(U(A) \cup U(B))$，然后应用习题 15. 对于每个随行人员$V \subset U$，表明每 $K \in \mathfrak{M}_V$ 包含集合 $H \in \mathfrak{M}_U$，以及集合 $\mathfrak{M}_{U,V}$ 集合 $K \in \mathfrak{M}_V$ 中包含的集合 $H \in \mathfrak{M}_U$ 在 $\mathfrak{F}(X)$ 中关闭；并且结论与 $V$ 中包含的随行人员集合一样，贯穿于 $U$、交中集合 $\mathfrak{M}_{U,V}$ 不为空）。