习题 4, § 1

副拓扑群是群$G$，赋予拓扑满足公理$(\mathrm{GT}_1) (*)$。

a) 群 $G$ 上的过滤器 $\mathfrak{B}$ 是拓扑的 $e$ 的邻域过滤器，这使得 $G$ 成为副拓扑群当且仅当 $\mathfrak{B}$ 满足公理 $(\mathrm{GV}_1)$ 且$(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$ 和 $e \in V$ 对于所有 $V \in \mathfrak{B}$。那么相应的拓扑是唯一的；当且仅当集合$V.V^{-1}$的交（其中$V$贯穿$\mathfrak{B}$）仅由点$e$组成。

b) 在整数的群$\mathbf{Z}$上，对于每个$n > 0$，令$V_n$为$0$的集合由……组成以及所有整数$m \geq n$。证明$V_n$形式是$0$的邻域的基本系统对于$\mathbf{Z}$上的非豪斯多夫拓扑，并且拓扑$\mathbf{Z}$是群的副拓扑群其中 $\{0\}$ 已关闭。

c) 副拓扑群$G$是拓扑群当且仅当，对于$\overline{G}$的每个子集$A$，交为集合$AV$（或集合） $VA$）是$A$的闭包$\overline{A}$（因为$V$穿过$e$的邻域过滤器）（要查看条件是充分的，将$A$作为开邻域的补集$e$）。