习题 17, § 2

Let $G$ be the additive group of mappings $n \to f(n)$ of $\mathbf{N}$ into $\mathbf{Q}$ such that $\lim_{n \to \infty} f(n)$ exists in $\mathbf{R}$. 对于每个$\alpha > 0$，令$V_\alpha$为$f \in G$的集合，使得$|f(n)| < \alpha$对于所有$n \in \mathbf{N}$。 证明 $V_\alpha$ 满足公理 (GV_I) 和 (GV_{II}) 以及由 $V_\alpha$、群 $G$ 定义的拓扑是 Hausdorff 且完全不连通。 令$H$为所有$f \in G$中的子群，使得$\lim_{n \to \infty} f(n) = 0$。 证明 $H$ 是闭集，并且 $G/H$ 与 $\mathbf{R}$ 同构的，因此是连通的。 \*