习题 21, § 2

令$G$为拓扑群，并令$H, K$为$G$的两个子群，使得$G = HK$和$H \cap K = \{e\}$。每个$x \in G$都可以唯一地写成形式$x = f(x)g(x)$，其中$f(x) \in H$和$g(x) \in K$。 $H \times K$到$G$的映射$(y, z) \mapsto yz$是同胚当且仅当映射$f, g$之一是连续的。证明如果子群 $H, K$ 之一是紧凑且闭的，并且另一个是闭的，那么条件总是满足的（注如果 $H$ 和 $K$ 是闭的，则 $f$ 和 $g$ 不能有簇点除了当$x$在$G$趋于$e$时，$e$）。