习题 5, § 2

如果对于$G$到$G$的每个$a \in G$、映射$x \to xax^{-1}$是连续的，则半拓扑群$G$是准拓扑。每个交换半拓扑群都是准拓扑。

a) 证明准拓扑群的闭子群的归一化器是闭的。

b) 令$G$为准拓扑群，它由$e$的每个邻域（分别是相连的）生成。证明$G$的每个离散（或完全断开）正常子群$D$都包含在$G$的中心中（如果$a \in D$，表明存在$e$的邻域$V$，使得每个$xax^{-1} = a$ $x \in V$）。

c) 令$G$为矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$的群，其中$x$和$y$分别为实数和$x > 0$。 If we identify $G$ with a subset of $\mathbf{R}^2$ by means of the mapping $(x, y) \to \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$, then the topology $\mathfrak{T}_0$ induced on $G$ by the topology of $\mathbf{R}^2$ is compatible with the group structure of $G$. 令$H$为所有矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & 1 \end{pmatrix}$中$G$由……组成的正规子群，并令$H^*$为$H$中单位元素的补集。 Define a topology $\mathfrak{T}$, finer than $\mathfrak{T}_0$, by taking as a fundamental system of neighbourhoods of $e$ in $G$ the intersections of neighbourhoods of $e$ in the topology $\mathfrak{T}_0$ with the complement of $H^*$ in $G$. 对于这个拓扑$\mathfrak{T}$，证明$G$是连通的半拓扑群，它不是准拓扑，并且$H$是不包含在中心中的离散子群。 \