习题 11, § 4

令$G$为拓扑群，令$H, K$为$G$的两个闭子群。

a) 证明以下三个条件是等价的： (i) $H \times K$根据外法则$((h, k), s) \to hsk^{-1}$在$G$上正确运行； (ii) $H$ 在同质空间 $G/K$ 上正确运行； (iii) $K$ 在同质空间 $G/H$ 上正确运行。

b) 如果 $G$ 是局部紧致的，则 a) 的（等价）条件也等价于：对于 $G$ 的紧致子集 $A, B$ 的每个对，交 $HA \cap BK$ 都是紧致的。特别是，如果子群$H, K$之一是紧凑的，则满足这些条件。

c) 假设$G$是局部紧的，并证明以下条件是等价的： (i) 对于$H$到$G/K$的每个$x \in G$映射$h \to h.xK$都是适当的； (ii) 对于$K$到$G/H$中的每个$x \in G$映射$k \to k.xH$都是适当的； (iii) 对于每个$x \in G$和$G$的每个紧凑子集$A$，$Hx \cap AK$是紧凑的； (iv) 对于每个$x \in G$和$G$的每个紧凑子集$A$，$Kx \cap AH$是紧凑的。如果子群$H, K$之一正常或者$G$重合（§ 3，习题3）的左右均匀性，则表明这些条件暗示了a）的均匀性。