习题 17, § 4

令 $G$ 为局部紧凑群，且不存在任意小的子群 [$\S$ 2, 习题 30]。

a) 证明 $G$ 的每个点都有一个可数基数系统邻域 (习题 15 b))。

b) 存在$e$的紧邻域$V$，使得对于$V$的任何两个点$x, y$，关系$x^2 = y^2$意味着$x = y$。 （我们可能假设 $G$ 不可交换。 如果结果为假，则存在$G$的点的两个序列$(x_n), (y_n)$，趋向于$e$，因此$x_n^2 = y_n^2$和$x_n y_n^{-1} = a_n \neq e$。 令$U$为$e$的紧凑邻域，其中包含除$\{e\}$外$G$没有子群，并令$p_n$为最小的整数$p > 0$，使得$a_n^{p+1} \notin U$：显示（如果需要，通过经过到子序列）我们可以假设$a = \lim_{n \to \infty} a_n^{p_n}$存在，不等于$e$且属于不等于$U$。 证明$a^{-1} = a$，从而得到矛盾）。

c) 令$U$为$e$的紧对称邻域，除了$\{e\}$外，包含不存在$G$的任何子群，并令$V$为$e$的邻域。证明存在数 $c(V) > 0$，使得对于整数 $p > 0, q > 0$ 的每个对 $p \leq c(V)q$，以及每个元素 $x \in G$ $x, x^2, \ldots, x^q$ 属于到 $U$，我们有$x^p \in V$。 [通过矛盾论证，假设整数$(p_n), (q_n)$存在两个序列，使得$\lim_{n \to \infty} (p_n/q_n) = 0$，并且对于每个$n$元素$a_n \in G$，使得$a_n^h \in U$对于$1 \leq h \leq q_n$，但是$a_n^{p_n} \notin V$；我们还可以假设序列$(a_n^{p_n})$有极限$a \neq e$位于$U$。证明对于每个整数 $m > 0$，我们应该有 $a^m \in U$，因此得出矛盾]。