习题 21, § 4

设 M 为紧致空间，赋予半群结构，使得 (i) $M \times M$ 的映射 $(x, y) \to xy$ 到 $M$ 是连续的； (ii) 对于每个$a \in M$关系$ax = ay$意味着$x = y$。

a) 证明如果 F 是 M 的闭子集并且 $x \in M$ 使得 $xF \subset F$，则$xF = F$。 [令$y$为M中序列$(x^n)_{n \geq 1}$的簇点；显示$yF = \bigcap_{n \geq 1} x^n F$，并推导出$yx F = yF$]。

b) 从a)推导出，如果在加法中，对于每个$a \in M$关系$xa = ya$蕴涵$x = y$，则M是紧拓扑群。 （首先证明存在单位元素 e；为了证明 $x \to x^{-1}$ 是连续的，通过反证法论证，考虑 M 上的超滤器，其收敛于 e）。