习题 22, § 4

a) 设 G 为 Hausdorff 拓扑群。证明 G 的每个稳定子集 S 要么是紧致的，要么是开且相对紧致的，是 G 的子群 [使用上面的习题 21，以及 § 2 的习题 28 a)]。推导出紧交换律群是根式群 [§ 2, 习题 28 d)]。

b) 从a) 推导出紧致群 K 的每个局部紧致稳定子集都是K 的子群。

c) 令 G 为 Hausdorff 拓扑群，并令 S 为 G 的稳定闭子集，其中性质，存在 G 的子集 K，其关于 G 的右一致性是预紧的，并且使得 SK = G。 证明 S 是 G 的子群。（给定 $s \in S$、定义，递归地元素 $x_i \in K$ 的序列和元素 $s_i \in S$ 的序列，使得 $s^{-1} x_i = s_{i+1} x_{i+1}$；观察，如果$i < j$，然后$s^{-1} x_i x_j^{-1} \in S$，并且对于 G 中 e 的每个邻域 V，都有元素 $x_i, x_j$ 的对，使得 $i < j$ 和 $x_i x_j^{-1} \in V$）。