习题 12, § 6

如果对于$A$中$o$的每个邻域$U$，存在$o$的邻域$V$，则拓扑环的子集$M$被称为*右有界*（或*左有界*）这样$VM \subset U$（分别为$MV \subset U$）；如果 $M$ 是有界的，则它是左界和右界的。如果$A$中存在$o$的有界邻域，则$A$的拓扑被称为“局部有界”（并且$A$被称为“局部有界”拓扑环）。

a) 每个具有右理想的基本系统邻域 $o$ 由……组成的拓扑环都是右界的。证明如果 $I$ 是无限的，并且 $B$ 是习题 10 a) 中环的除法，则环 $A$ 是左界的，但 $A$ 中不存在 $o$ 的右界邻域。

b) 如果拓扑环 $A$ 是右有界（或有界）并且具有 $o$ 的邻域的基本系统以及 $A$ 的加法群的子群，则它的基本系统为$o$ 中的邻域是正确的（分别是两侧的）理想。

c) 有界集合中的每个有限并都是有界的；有界集合的闭包是有界的；如果 $M$ 和 $N$ 有界，则 $M + N$ 和 $MN$ 也有界。

d) 拓扑环 $A$ 中的每个预紧集合都是有界的。

e) 如果$M$和$N$是$A$的两个有界子集，证明$M \times N$的映射$(x, y) \to xy$元素到$A$是一致连续的。

f) 令 $A$ 为具有单位元素的 Hausdorff 拓扑环。证明如果$(x_n)$是单位的序列，并且在$A$中趋向于$o$，那么元素$x_n^{-1}$的集合既不是左有界也不是右有界。

g) 如果$A$是与单位元素有界的环，则证明映射$x \to x^{-1}$在$A$的单位的集合$A^*$上一致连续。

h) 证明如果$A$是一个以单位元素为边界的环的完整豪斯多夫，则单位的集合$A^*$和$A$的根式是闭集[使用g)]。

i) 拓扑环的乘积$\prod_i A_i$的子集是有界的当且仅当其所有投影都是有界的。

j) 局部有界环的每个子环和局部有界环的每个乘积都是局部有界环。

k) 局部有界 Hausdorff 环的完成是局部有界的。