习题 2, § 7

令$(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$为非空集合的逆系，使得$\varprojlim X_\alpha = \emptyset$。令$G_\alpha$表示$X_\alpha$的元素的形式线性组合的自由$\mathbf{Z}$模，系数在$\mathbf{Z}$中，令$g_{\alpha\beta}$表示同态$G_\beta \to G_\alpha$，与$f_{\alpha\beta}$一致$X_\beta$。证明群 $G = \varprojlim G_\alpha$ 仅由单位元素组成。 【反证法：如果$z = (z_\alpha)$是$\varprojlim G_\alpha$的元素，则考虑对于每个$\alpha$，$X_\alpha$的元素的有限集合$F_\alpha$，其在$z_\alpha$中的系数不是零，并观察$f_{\alpha\beta}(F_\beta) = F_\alpha$。]因此，群的逆系$(G_\alpha, g_{\alpha\beta})$的构造例，使得$g_{\alpha\beta}$是满射，$G_\alpha$是无限的，$\varprojlim G_\alpha$仅由单位元素组成。