习题 3, § 1

令$G$为格序交换群，并令$M$为$G$的*主要*子集的半群。上界（或下界）的$M$的每个子集都至少有上界（或下确界），并且$G$可以与$M$的子集规范地识别。让$G'$表示$M$的最大的子群（$M$的所有可对称元素的集合）。

a) 考虑由习题 2 a) 的过程定义的$G$上的拓扑$\mathfrak{T}$；令$V_\alpha$为$M \times M$中所有对$(z, z')$的集合，使得

表明$V_\alpha$形式是$M$上均匀性$\mathfrak{U}$的基本系统，并且拓扑$\mathfrak{T}'$是由$\mathfrak{U}$诱导$\mathfrak{T}$在$G$上引起的。如果$\mathfrak{T}$是豪斯多夫，那么$\mathfrak{U}$是豪斯多夫均匀性（注，$M$的元素，被视为$G$的子集，则*封闭*），因此定义的均匀性空间$M$是*完备的*。证明$M \times M$到$M$的映射$(z, z') \to z + z'$是一致连续的。假设 $\mathfrak{T}$ 是 Hausdorff，证明在 $M$ 的任何子集的上界（或下界）$M$ 集合相对于 $\mathfrak{T}'$ 是闭的（首先证明上界的集合或上界的下界） $M$的元素，通过将$M$的元素视为$D$的子集），并且映射

$M \times M$到$M$是一致连续的（同样方法）。

b) 假设从现在开始在这个习题中$\mathfrak{T}$是Hausdorff。那么$M$中$G$的闭包$\overline{G}$是一个格序群，它在$\mathfrak{T}'$诱导的拓扑中完成。 群$G'$在$M$闭合（注，其闭合为$M$的子群），并且由$\mathfrak{T}'$在$G'$诱导的拓扑与$G'$的有序群结构兼容。为了使$G'$等于$\overline{G}$，$G'$中的每个非空开区间$]a, b[$应该是$G$的包含元素就足够了，如果$G$是线性排序的，情况总是如此。在这种情况下，$\mathfrak{T}'$在$G'$上诱导拓扑是$\mathfrak{T}_0(G')$。

c) 取$G$为线性有序群$Q$自身的有序群$Q^2$、乘积；然后 $G' = M = R^2$ 与乘积排序。 证明 $G$ 上仅存在由习题 2 a) 的过程定义的三种不同的非离散豪斯多夫拓扑，并且它们是通过将元素 $c_\alpha$ 的集合取为对 $(x, y)$ 的集合来获得，使得$x > 0$和$y > 0$，或对$(x, 0)$的集合使得$x > 0$，或者对$(0, y)$的集合使得$y > 0$。 对于这三个拓扑中的第一个，我们有$\overline{G} = G'$，尽管$G'$有非空开区间，其中包含没有$G$的元素；对于其他两种拓扑，我们有 $\overline{G} \neq G'$。 对于这三种拓扑中的每一种，$G$中元素$z > 0$的集合都是不开放的。

d) 取$G$为群$Q^2$，赋予字典序阶（集合理论，章III, § 2, no. 6）； $G$ 是非阿基米德线性有序群。然后$\overline{G} = G' \neq M$； $M$ 是线性有序的，但 $M$ 上的拓扑 $\mathfrak{T}'$ 与拓扑 $\mathfrak{T}_0(M)$ 不同； $G'$ 与群 $R \times Q$ 同构的，字典顺序为阶；在 $G'$ 子群 $H = R \times \{0\}$ 中是开放且孤立的，但在商群 $G'/H$ 中，商拓扑与 $\mathfrak{T}_0(G'/H)$ 不同。