习题 12, § 2

a) 令$A$为良序集，并令$I$表示$R$的区间[0, 1[。证明集合 $X = A \times I$，按字典顺序线性排序并赋予拓扑 $\mathfrak{T}_0(X)$，是连通的 (习题 7)；因此，存在线性有序集 $X$，它们在拓扑 $\mathfrak{T}_0(X)$ 中相连，并具有任意基数 [cf. , 习题 7 b)]

b) 取$A$为不可数良序集，其中]$\leftarrow, t$都是可数的：相应的拓扑空间$X$称为Alexandroff半线。证明对于 $X$ ($a < b$) 的每个区间 $[a, b]$，$[a, b]$ 的严格递增的同胚到$\mathbf{R}$ 的区间 $[0, 1]$。 （通过超限归纳证明$A \cap [a, b]$存在严格递增的同胚，$A$与点的集合、$X$的$(t, 0)$等价于$[0, 1]$的子空间。）