习题 7, § 2

令$X$为非空线性有序集合，并赋予拓扑$\mathfrak{T}_0(X)$。

a) 如果$X$是连通的，证明它有以下两个性质：

α) $X$ 的每个非空子集其上界有至少上界 （如果 $A$ 非空且上界，并且如果 $B$ 是 $A$ 的上界的集合，并且 $C$ $B$的下界的集合，表明$B \cup C = X$以及$B$和$C$是闭合的）。

β) 集合 $X$ 无间隙，在其他字 (集合理论, 章 III, § 1, 习题 18) $X$ 的每个开区间$[a, b[\ (a < b)$ 非空（使用参数定理4)。

b) 反过来证明，如果 $X$ 具有性质 α) 和 β)，则 $X$ 是连通的。 （首先证明每个闭区间$[a, b]$是连通的：假设这个区间是两个非空闭区间集合$A$和$B$的不相交的并，以及$a \in A$，考虑$B$的下确界，从而得到矛盾）。

c) 证明如果 $X$ 是连通的，那么它是局部紧凑且局部连通的，并且 $X$ 的唯一连通的子集是区间（有界或无界）。