习题 15, § 5

令$(x_n)$为有限实数的序列，令$(p_n)$为有限实数$\geq 0$的序列，使得$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$。让$y_n = \left( \sum_{i=0}^n p_i x_i \right) / \left( \sum_{i=0}^n p_i \right)$代表$n$的那些值，使得$\sum_{i=1}^n p_i \neq 0$。证明$\liminf_{n \to \infty} x_n \leq \liminf_{n \to \infty} y_n \leq \limsup_{n \to \infty} y_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n$。

令$H$为$\overline{\mathbf{R}}$中序列$(x_n)$的簇点的集合的任何非空子集。证明有限实数 $\geq 0$ 的序列 $(p_n)$ 可以确定使得$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$ 以及相应的序列 $(y_n)$ 包含的簇点集合 $H$。 [约化对于$H$可数的情况，则定义$(p_n)$乘归纳，取其项为0或1]。

推断序列 $(x_n)$ 收敛于 $\overline{\mathbf{R}}$ 当且仅当对于数 $\geq 0$ 的每个序列 $(p_n)$，序列 $(y_n)$ 收敛于 $\overline{\mathbf{R}}$，使得$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^n p_i \right) = +\infty$。