习题 15, § 6

令 $X$ 为 Alexandroff 半线 [§ 2, 习题 12 b)]，并令 $X'$ 为其在无穷远 $\omega$ 处点的伴随的压缩。证明，对于每个连续的映射 $f : X \to X$，要么有 $\lim_{x \to \omega, x \in X} f(x) = \omega$，要么存在 $z \in X$，使得 $f$ 在区间 $[z, \to[$ 内恒定。 [表明，如果随着$x$趋于$\omega$，$f$有一个集群点$c \in X$，那么我们一定有$\lim_{x \to \omega, x \in X} = c$；利用每个递增序列收敛于$X$的事实，证明$f$在$X'$中不能有其他簇点。然后使用§ 2的习题 12 b) 以及$X'$中$\omega$的邻域的每个可数交是$\omega$的邻域]。