习题 6, § 6

令$f$为定义在拓扑空间$X$上的实值函数。 数（有限或无限）

每当定义右侧时，称为 $f$ 在 $a \in X$ 的振荡。

a) 表明 $x \to \omega(x; f)$ 是定义了映射的$X$ 子空间 $A$ 上半连续。

b) 如果 $f$ 在 $X$ 上是有限的，则 $A = X$ 并且对于每个 $a \in X$ 我们有

c) 令$f$为$X$上的下半连续有限实值函数。证明如果在点 $a \in X$ 处，$\omega(a; f)$ 具有有限的值，则

[假设结果为假，表明存在任意接近 $a$ 的点 $x$，使得 $f(x)$ 尽可能大]。

d) 对于不可约形式（与$q > 0$）中的每个有理数$r = p/q$，放入$f(r) = q$。证明 $f$ 在 $\mathbf{Q}$ 上是下半连续的，但是在每个点 $r \in \mathbf{Q}$ 处我们都有 $\omega(r; f) = +\infty$。