习题 7, § 6

令$X$为空间上的局部紧致空间，$f$为$X$上的下半连续函数。

a) 如果$\limsup_{x \to a} f(x) = +\infty$对于每个$a \in X$，证明集合$\overline{f}^{-1}(+\infty)$在$X$中是稠密的[对于每个$a \in X$和$a$的每个邻域$V$，定义序列 $(U_n)$相对紧凑的开放集合，使得$\overline{U}_{n+1} \subset U_n$和$f(x) > n$适用于所有$x \in U_n$]。

b) 设$n \to r_n$为$\mathbf{N}$的双射到有理数属于到$[0, 1]$的集合，并令$\varphi(x) = 1/\sqrt{|x|}$[与$\varphi(0) = +\infty$]；那么函数$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \varphi(x - r_n)$在$[0, 1]$上是下半连续的，$\overline{f}^{-1}(+\infty)$在这个区间上是稠密的，它的补集也是如此[为了证明最后一个点，观察级数是收敛的，其通式项是

（积分，章IV, § 3, no. 6，定理5）。]

c) 如果 $f$ 是有限的，则证明点 $x$ 的集合使得 $\omega(x; f)$ 是有限的，是稠密的 [使用 a)]。

d) 证明$f$连续（$f$有限或非有限）时$X$的点的集合是稠密的。 [约化对于$f$有界的情况，由替换$f$由$f/(1 + |f|)$（习题4）；观察$1/\omega(x; f)$ 是下半连续并使用 a) 和习题 6 c)]。