习题 12, § 7

设 $(u_n)$ 为有限实数的序列。对于集合 $\mathbf{N}$ 中的每个置换 $\sigma$，将

a) 如果级数与一般项$u_n$收敛，且如果$\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$，则证明级数与一般项$v_n = u_{\sigma(n)}$收敛于相同的和。 [考虑$n$的大值的差异$\sum_{k=0}^n v_k - \sum_{k=0}^n u_k$，并且如果$h$是最小的整数$\leq n$，使得$\sigma(h) > n$，注在这个差异中最多有$\sigma(h) - h$ 项在两个和中的每一个都不会抵消]。 b) 假设级数收敛，其通式项为$u_n$。给出置换$\sigma$的例使得$\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$但是不满足章III, § 5、习题6 a)的标准。 [$\mathbf{N}$中的定义相互不相交的间隔$I_k = [n_k - 2k, n_k + 2k]$的族，并取$\sigma$使得$\sigma(n) = n$只要$n$不属于到任何$I_k$，并且使得$\sigma(n_k - 2j) = n_k + 2j$， $\sigma(n_k + 2j) = n_k - 2j$ 适用于所有 $k$ 和 $0 \leq j \leq k$]。