Bourbaki

习题 19, § 7

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一般拓扑, IV, 401

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设(1+ui)i∈I(1 + u_i)_{i \in I}是R\mathbf{R}中的可乘族。对于II的每个非空子集HH，令vHv_H表示∏i∈Hui\prod_{i \in H} u_i。证明族 (vH)H∈P(I)(v_H)_{H \in \mathfrak{P}(I)} 可在 R\mathbf{R} 中求和，并且

1+∑HvH=∏i∈I(1+ui). 1 + \sum_H v_H = \prod_{i \in I} (1 + u_i).
逆命题是真的吗？

推断，如果−1<x<1-1 < x < 1，则∏n=0∞(1+x2n)=1/(1−x)\prod_{n=0}^\infty (1 + x^{2^n}) = 1/(1 - x)。

解答

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