习题 6, § 8

对于每个实数$x > 1$，整数$\geq 1$都有一个唯一的无限序列$(t_n)$，使得$t_{n+1} \geq t_n^2$适用于所有$n \geq 1$，并且$x = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{t_n} \right)$（使用§ 7的习题19）。 数 $x$ 是有理数当且仅当 $t_{n+1} = t_n^2$ 形式 $n$ 的某个值以后。 [为了证明条件是必要的，请证明如果我们放入$x_n = \prod_{k=n+1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{t_k} \right)$，那么分数$\frac{x_n}{x_n - 1}$的分母（在它们的不可约形式中）形式递减序列]。