习题 2, 附录 0

在线性排序的集合 $I$ 中，我们可以说非空子集 $J$ 是 $I$ 的*切片*，如果每当 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $J$ 的元素使得 $\alpha < \beta$ 时，那么$[\alpha, \beta] \subset J$。

a) 令 $(x_i)_{i \in J}$ 为*完整群* $G$ 中的可乘族。证明，对于$I$的每个切片$J$，族$(x_i)_{i \in J}$是可乘的（首先考虑$J$的下界的集合，其中属于到$J$不为空）。

b) 如果$L$是线性有序的集合并且如果关系$\lambda < \mu, \alpha \in J_\lambda, \beta \in J_\mu$暗示$\alpha < \beta$，则$I$的划分$(J_\lambda)_{\lambda \in L}$被认为是*有序的划分*；那么$J_\lambda$就是$I$的切片。如果 $(x_i)_{i \in I}$ 是完整群 $G$ 中的可乘族，证明如果我们放入 $p_\lambda = \prod_{i \in J_\lambda} x_i$，则族 $(P_\lambda)_{\lambda \in L}$ 是可乘的，并且与族 $(x_i)_{i \in I}$ 具有相同的乘积。

c) 相反，如果$(J_\lambda)_{\lambda \in L}$是$I$的*有限*有序划分，并且如果$(x_i)_{i \in I}$使得每个族$(x_i)_{i \in J_\lambda}$是可乘的，则族$(x_i)_{i \in I}$是可乘的。