习题 11, § 1

设$X$是完全正则的空间。如果存在$X$到$[0, 1]$的连续映射$f$，使得$A$上的$f(x) = 0$和$B$上的$f(x) = 1$，则称$X$中的两个闭集合$A, B$是完全分离的。

a) 令 $\beta X$ 为 $X$ 的 Stone-Čech 紧致化。证明$X$中的两个闭包集合、$A$和$B$完全分离当且仅当它们在$\beta X$中的闭包不相交[使用习题 7 a) 和 10 a)]。

b) 令$h$为$X$到紧致空间$K$的稠密子集$X'$的同胚，并令$\overline{h}$为映射$\beta X \to K$其中扩展 $h$。假设对于 $X$ 的完全分离闭子集 $A, B$ 的每个对，$K$ 中的$h(A)$ 和$h(B)$ 的闭包不相交。证明$\overline{h}$是$\beta X$到$K$的同胚。 （证明$\overline{h}$是单射的：如果$a, b$与$\beta X$不同点使得$\overline{h}(a) = \overline{h}(b)$，则考虑连续的映射$f : \beta X \to [0, 1]$使得$f(a) = 0, f(b) = 1$，并考虑集合$X \cap \overline{f}^{-1}[0, 1/3]$和$X \cap \overline{f}^{-1}[2/3, 1]$。）