Bourbaki

习题 22, § 1

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一般拓扑, IX

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令XX为豪斯多夫均匀空间，令YY为XX的闭子集，令ff为YY上有界、均匀连续、实值函数。证明 ff 具有扩张 f‾\overline{f} 到 XX，其在 XX 上有界且一致连续。 [我们可以假设f(Y)⊂[0,1]f(Y) \subset [0, 1]。对于每个二元数r=k/2n∈[0,1]r = k/2^n \in [0, 1]，令A(r)A(r)为所有x∈Yx \in Y中的集合，使得f(x)≤rf(x) \leq r，并令B(r)=A(r)∪(X−Y)B(r) = A(r) \cup (X - Y)。 定义 by 归纳 \* （如定理 1 of § 4, no. 1 中的证明）\* 对于每个二元数 r∈[0,1]r \in [0, 1] 都有一个开放的集合 U(r)U(r)，这样，每当 rr 和r′r' 是两个二元数和 r<r′r < r'，XX 的均匀度有一个随从 VV，其中

V(A(r))⊂U(r′),V(U(r))⊂U(r′),V(U(r))⊂B(r′). V(A(r)) \subset U(r'), \quad V(U(r)) \subset U(r'), \quad V(U(r)) \subset B(r').

然后定义 f‾(x)\overline{f}(x) 成为二元数 rr 的下确界，使得 x∈U(r)x \in U(r)。]

解答

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