习题 5, § 1

The topology induced by $\mathscr{U}$ is finer than $\overline{\mathscr{T}}$ if and only if, for each $x_0 \in X$ and each neighbourhood $V$ of $x_0$ in the topology $\overline{\mathscr{T}}$ there is an index $i$ and a real number $s > 0$ such that $f_{i, x_0, x'} > s$ for all $x \in \mathbf{C}V$.

4) 令$X$为非豪斯多夫可均匀化空间，并令$R$为$X$的两个点$x, y$之间的关系“$y \in \{ x \}$”。

a) 证明 $R$ 是 $X$ 上的等价关系，$X$ 到 Hausdorff 空间的每个连续映射与关系 $R$ 相容的（*集合理论*，R，§ 5, no. 7），并且商空间 $X/R$ 是完全正则的。

b) 如果 $\mathscr{U}$ 是与 $X$ 的拓扑兼容的任何均匀性，则与 $\mathscr{U}$ (章 II, § 3, no. 9) 关联的豪斯多夫均匀性定义在商空间 $X/R$ 上，并且与拓扑兼容$X/R$。拓扑空间 $X/R$ 被称为完全正则空间 关联与可统一的空间 $X$。

5) Let $X$ be a uniformizable 空间.证明$X$上的*所有*伪度量族在$X \times X$定义上是*连续的*，$X$上的一致性与$X$的拓扑兼容。这种均匀性$\mathscr{U}_0$称为$X$上的*通用*均匀性；它是与 $X$ 的拓扑兼容的所有均匀性中最好的。如果$Y$是任意一致的空间且$f : X \to Y$是连续的映射，则$f$相对于$X$上的普遍一致一致是一致连续的；对于与拓扑兼容的 $X$ 上的任何其他一致性，情况并非如此。如果 $X$ 上存在均匀性 $\mathscr{U}$，与其拓扑兼容，且赋予了这种均匀性的 $X$ 是一个完整的空间，则 $X$ 相对于任何均匀性 $\mathscr{U}'$ 也是一个完整的空间，即更细比$\mathscr{U}$更粗糙，比$\mathscr{U}_0$更粗糙。 （观察到 $\mathscr{U}'$ 和 $\mathscr{U}_0$ 的柯西滤波器相同。）