习题 8, § 1

令 $X$ 为完全正则空间，令 $\beta X$ 为其 Stone-Čech 紧致化。

a) 如果 $\mathscr{F}$ 有基 $\mathscr{B}$ 由……组成的开放集合，使得对于每个集合 $A \in \mathscr{B}$ 都存在集合 $B \in \mathscr{B}$，则 $X$ 上的过滤器 $\mathscr{F}$ 被称为“完全规则”包含在$A$中，以及连续的映射$f : X \to [0, 1]$，在$B$上等于0，在$\overline{C}A$上等于1。如果不存在严格的更细完全正则过滤器，则完全正则过滤器被称为“极大”。证明，如果$\mathscr{F}$是$E$上的任何完全正则过滤器，则存在比$\mathscr{F}$最大的完全正则过滤器更细（使用Zorn的引理）。

b) 完全正则过滤器$\mathscr{F}$最大当且仅当对于$X$的开放集合$A, B$的每个对使得$B \subset A$并且使得$X$的连续映射进入$[0, 1]$等于0在$B$上并且在$\overline{C}A$上等于1，我们要么有$A \in \mathscr{F}$，要么$A \notin \mathscr{F}$，$\mathscr{F}$中有集合不满足$B$（如果$\mathscr{F}$的所有集合满足$B$，请考虑由$\mathscr{F}$和集合$\bar{f}^{-1}([0, a[),$（其中$a \in ]0, 1[$）的集合生成的过滤器。

c) 表明每个最大完全正则滤波器 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 上相对于 $\beta X$ 引起的均匀性的柯西滤波器 [表明每个连续映射 $f : X \to [0, 1]$ 相对于 $\mathscr{F}$ 具有极限，通过 reductio adabsurdum 论证，并且 using b)].

d) 两个不同的最大完全正则滤波器 $\mathscr{F}, \mathscr{F}'$ 不能收敛到 $\beta X$ 的相同点 [观察到，通过 b) 存在一个开集合 $A \in \mathscr{F}$ 和一个开集合 $A' \in \mathscr{F}'$，使得 $A \cap A' = \varnothing$；然后使用公理$(O_{IV})$]进行反证论证。

e) 任何点 $x_0 \in \beta X$ 的邻域过滤器在 $X$ 上的踪迹都是最大完全正则过滤器 $\mathscr{B}$ （通过矛盾论证，使用完全正则过滤器的定义和 $\beta X$ 中点的邻域过滤器。