习题 9, § 1

a) 令$X$为拓扑空间，令$\mathscr{T}$为其拓扑，令$(f_i)_{i \in I}$为$X$到$K = [0, 1]$的映射族，在拓扑$\mathscr{T}$中连续。令$\mathscr{T}_0$为$X$上最粗糙的拓扑，其中所有$f_i$都是连续的。证明 $\mathscr{T}_0 = \mathscr{T}$ 假设集合 $\overline{f_i}([0, a[)$ 族，其中 $i \in I$ 和 $a \in ]0, 1[$，是 $\mathscr{T}$ (章 I, § 2, no. 3) 的子底。 空间 $X$ 是可均匀化的，并且如果它是 Hausdorff，则它与立方体 $K^I$ 的子空间同胚。

b) 假设族$(f_i)$是$X$到$K$的所有连续映射的族（相对于$\mathscr{T}$）。证明，如果 $Y$ 是任何紧致空间，$X$ 到 $Y$ 中的每个映射相对于 $\mathscr{T}$ 连续，相对于 $\mathscr{T}_0$ 连续（将 $Y$ 嵌入立方体中）。 拓扑 $\mathscr{T}$ 可统一当且仅当$\mathscr{T}_0 = \mathscr{T}$。