习题 17, § 2

令 $\beta \mathbf{N}$ 为离散空间 $\mathbf{N}$ ($\S$ 1, 习题 7) 的 Stone-Čech 紧化。

a) 证明$\beta \mathbf{N}$有两个可数紧致子空间$A, B$，使得$A \cap B = \mathbf{N}$和$A \cup B = \beta \mathbf{N}$。 [让$\aleph_\alpha = 2^{2^{\text{Card}(\mathbf{N})}}$；根据 $\S$ 1, 习题 12 b)，有序数 $\omega_\alpha$ 的双射 $\xi \to S_\xi$ (集合理论, 章 III, $\S$ 6, 习题 10) 到$X$的可数无限子集中的集合。通过超限归纳、定义将$\omega_\alpha$的两个单射映射$\xi \to x_\xi, \xi \to y_\xi$引入$\beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$，使得$x_\xi \in \overline{S}_\xi, y_\xi \in \overline{S}_\xi$对于每个$\xi$，并且使得如果$P$（或$Q$）是$x_\xi$（或$y_\xi$）中的集合，我们有$P \cap Q = \varnothing, P \cup Q = \beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$；为此，请使用 $\S$ 1、习题 12 b) 和 c)。然后显示问题的 $A = P \cup \mathbf{N}$ 和 $B = Q \cup \mathbf{N}$ 满足条件。]

b) 证明乘积空间 $A \times B$ 不是可数紧致的（注 $A \times B$ 的交与$\beta \mathbf{N} \times \beta \mathbf{N}$ 对角线是$A \times B$ 的无限离散闭子空间）。