习题 19, § 2

在度量空间中，每个相对的紧集都是有界的。如果$X$是拓扑空间，证明以下$X$上的条件是等价的：$\alpha$在$X$上存在一个与其拓扑兼容的度量，使得$X$的每个有界子集（相对于该度量）是相对的紧凑； $\beta$ $X$ 是局部紧致的并且有可数的基。 [为了证明 $\alpha) \Longrightarrow \beta$)，证明如果每个有界集合都是相对紧致的，那么 $X$ 是局部紧致的并且 $\sigma$ 是紧致的。证明 $\beta) \Longrightarrow \alpha$)、注 $X$ 可通过命题 12 的推论进行度量；如果$d$是$X$上的度量，与$X$的拓扑兼容，并且如果$f$是在§ 1、习题 15d)中定义的函数，则取由两个伪度量定义的$X$上的均匀性$d(x, y)$和$|f(x) - f(y)|$。]