习题 24, § 2

a) Let $X$ be a complete metric space, and let $A$ be a subset of $X$ which is the intersection of a countable family of open sets. 证明$A$上存在一个度量，相对于$A$是一个完整的度量空间，并且$A$拓扑上的定义是由$X$的度量引起的，并且定义的均匀性更细比由$X$ [cf. $§ 1$、习题 16 b) 和 c)]。

b) 相反，令$X$为可度量的空间，并令$A$为$X$的子集，使得$A$上存在度量$d$，该度量与由$X$的度量引发的拓扑兼容，并且对于$A$ 是一个完整的度量空间。证明$A$是$X$中开集合的可数交。 [对于每个整数 $n > 0$，考虑点 $x \in \overline{A}$ 的集合 $G_n$，其中有一个开放的邻域 $U$，使得 $A \cap U$ 的直径（相对于 $d$）为$\leqslant 1/n$。]