习题 9, § 2

令$X$为拓扑空间，其中每个点都有一个邻域的可数基本系统。

a) $X$ 是 Hausdorff，前提是 $X$ 中的每个收敛序列只有一个极限。

b) 如果$a$是$X$的点的无限序列$(x_n)$的簇点，则存在$(x_n)$的无限子序列，收敛到$a$。

c) 令$A$为$X$的非空子集，令$x_0$为$\overline{A}$的点，令$f$为$A$的映射，形成豪斯多夫拓扑空间 $X'$。那么点$a \in X'$是点$x_0$处$f$的极限，相对于$A$，前提是，对于$A$的点的每个序列$(x_n)$收敛到$x_0$，序列$(f(x_n))$收敛到$a$。

d) 对于$c_j$的记号，还假设$X'$的每个点都有一个邻域的可数基数系统。如果$a \in X'$是$f$在$x_0$相对于$A$的集群点，则$A$的点有序列$(x_n)$收敛到$x_0$，并且是这样的序列$(f(x_n))$收敛于$a$。