习题 16, § 4

对于拓扑空间$X$的每个覆盖$\mathfrak{R}$，令$V_{\mathfrak{R}}$表示所有集合$U \times U$的并，使得$U \in \mathfrak{R}$。如果 $X \times X$ 的对角线 $\Delta$ 存在邻域 $W$，使得覆盖$(W(x))_{x \in X}$ 比 $\mathfrak{R}$ 更细，则称$X$ 的覆盖$\mathfrak{R}$ 是“偶数”。如果$X \times X$中有$\Delta$的邻域$W$使得$\dot{W} \subset V_{\mathfrak{R}}$，则称$\mathfrak{R}$是*可整除的*。

a) 证明 $X$ 的每个偶数开覆盖都是可整除的 [cf. 习题 19 b)]。

b) 令$\mathfrak{R}$为$X$的开覆盖，使得存在$X$的局部有限闭覆盖$\mathscr{G}$，其更细比$\mathfrak{R}$。证明 $\mathfrak{R}$ 是偶数。 （对于每个集合$A \in \mathscr{G}$，令$U_A$为$\mathfrak{R}$中的集合，其中包含$A$，并令$V_A$为$U_A \times U_A$中的$X \times X$中的并，并且$(X - A) \times (X - A)$；考虑集合$W = \bigcap_{A \in \mathscr{G}} V_A$。）