习题 15, § 5

设$X$为线$D = \{0\} \times \mathbf{R}$和点$(1/n, k/n^2)$的平面$\mathbf{R}^2$由……组成的子集，其中$n$穿过整数$> 0$和$k$的集合到所有有理整数的集合。 a) 对于$D$的每个点$(0, y)$和每个整数$n > 0$，令$T_n(y)$为点$(u, v) \in X$的集合，使得$u \leqslant 1/n$和$|v - y| \leqslant u$。证明如果我们将集合$T_n(y)$的每个点$(0, y)$集合作为邻域的基本系统，并且将每个点作为邻域的基本系统单独这个点的$X$集合由……组成，那么我们在$X$上定义了拓扑$\mathscr{T}$，更细比拓扑由$\mathbf{R}^2$诱导，并且关于$X$ 是局部紧致的。 b) 证明 $X$ 是可计量封闭子空间的可数族的并，并且 $X$ 的每个点都有一个可计量紧致邻域，但是 $X$ 不是正规的。 [令$A$为所有点$(0, y)$中的集合，其中$y$是有理数，并令$B = D - A$；证明$X$中$A$的每一个邻域$U$满足$X$中$B$的每一个邻域$V$；为此，考虑点$y \in B$的每个$n$集合$B_n$，使得$T_n(y) \subset V$和注集合$B$在$\mathbf{R}$中并不微薄。]