习题 22, § 5

a) 令$X$为Baire 空间，$Y$为$X$的连续映射到$Y$的度量空间、$(f_n)$序列，使得对于每个$x \in X$、序列 $(f_n(x))$ 在 $Y$ 中有极限 $f(x)$。那么 $f$ 不连续的所有点 $x \in X$ 中的集合是微不足道的。 [证明，对于每个整数$n > 0$，所有点$x \in X$中的集合，其中$f$的振荡$\omega(x; f)$是$\leq 1/n$包含密集开集合；为此，如果$G_p$表示$x \in X$的集合，对于所有$q \geq p$，从$f_p(x)$到$f_q(x)$的距离为$\leq 1/2n$，则证明集合$G_p$内部的并是密开集合.]

b) 设$K$为$\mathbf{R}$中的紧致区间$[0, 1]$。 将连续的映射$f_n$的$K$的序列的例放入紧凑空间$K^K$中，使得每个$x \in K$都存在$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$，但使得$f$在任何点处不连续$K$。